Konsep Bukan Pangkal dan Pernyataan Bukan Pangkal

Konsep Bukan Pangkal dan Pernyataan Bukan Pangkal

Disusun oleh:

Ridho Nur Arifin

Anisa Subroto

I. Konsep Bukan Pangkal

Di bagian terdahulu telah dikemukakan adanya pengertian pangkal atau unsur primitif. Secara kurang tepat sering juga disebut “konsep tak didefinisikan”. Dalam suatu struktur tertentu banyak dijumpai konsep-konsep yang didefinisikan berdasarkan konsep-konsep terdahulu. Konsep-konsep semacam ini dalam tulisan ini disebut konsep bukan pangkal.  Selain itu dalam tulisan ini pengertian konsep yang dipakai adalah “ide abstrak yang dapat digunakan untuk melakukan penggolongan atau klasifikasi”.

Suatu konsep dapat  dibentuk melalui suatu abstraksi. Sebagi contoh sederhana dalam kehidupan sehari-hari kita dapat mengatakan bahwa sepeda, kereta api, mobil, becak adalah kendaraan. Tetapi rumah, pohon , batu  bukan kendaraan. Ini berarti “kendaraan” adalah suatu konsep. Konsep kendaraan itu dapat saja dipandang sebagai suatu abstraksi dari beberapa kendaraan khusus tertentu.

1.1            Konsep dan Pembentukannya

Di bagian terdahulu telah disebutkan selintas tentang pembentukan sutu konsep. Demikian juga pengertian konsep yang digunakan dalam tulisan ini. Dalam matematika dikenal banyak konsep. Misal: “segitiga”, “segiempat” dan sebagainya, dikenal juga konsep “ruang metrik”, “grup”, dan masih banyak lagi.

Jika disebut “segitiga”, maka ide itu dapat digunakan untuk melakukan pengelompokan atau klasifikasi, sedemikian hingga suatu bangun datar dapat termasuk segitiga atau tidak. Demikian juga konsep-konsep yang lain. Bagaimanakah pembentukan suatu konsep itu?.

Pembentukan suatu konsep bisa melalui:

(1)  abstraksi, misalnya : pembentukan bilangan melalui dua kali abstraksi.

(2)  idealisasi, misalnya: “kerataan” suatu bidang dan “kelurusan” suatu garis.

(3)  abstraksi dan idealisasi, misalnya: “kubus”, “kerucut”.

(4)  penambahan syarat pada konsep terdahulu, misalnya: “belahketupat” dari “jajargenjang”.

1.2 Definisi

            Di bagian terdahulu pembentukan suatu konsep ditunjukkan dengan penekanan pada prosesnya. Sedangkan agar dapat jelas dan dapat digunakan secara operasional perlu diungkapkan dalam suatu kalimat yang memuat pembatasan-pembatasan.

            Menurut Soedjadi (2000) definisi adalah ungkapan yang dapat digunakan untuk membatasi suatu konsep. Jajargenjang merupakan suatu konsep. Sedangkan “jajargenjang ialah segiempat yang mempunyai dua pasang sisi berhadapan sejajar” merupakan contoh definisi. Ungkapan dari definisi tersebut membatasi konsep. Suatu ungkapan yang membatasi  suatu konsep belum memiliki nilai benar maupun salah. Tetapi setelah ditetapkan atau disepakati dalam suatu struktur maka selanjutnya ungkapan itu memiliki nilai benar. Definisi atau ungkapan yang membatasi suatu konsep ada beberapa jenis.

            Menurut Soedjadi (2000) definisi dibedakan menjadi 3 yaitu definisi analitik, definisi genetik dan definisi dengan rumus. Pada geometri tidak dijumpai definisi dengan rumus.

            Suatu definisi dikatakan bersifat analitis bila definisi tersebut menyebutkan genus proksimum dan deferensia spesifika(Genus: keluarga terdekat; deferensia spesifika : pembeda khusus). Perhatikan definisi ini “ jajargenjang ialah segiempat yang mempunyai dua pasang sisi berhadapan sejajar”. Definisi jajargenjang tersebut merupakan definisi analitik dengan genus proksimum “segiempat” dan diferensial spesifika “mempunyai dua pasang sisi berhadapan sejajar”.

            Suatu definisi dikatakan bersifat ginetik jika definisi itu menunjukkan atau mengungkapkan cara terjadinya atau membentuknya konsep yang didefinisikan. Contoh definisi genetik “Trapesium adalah segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya”.

1.3 Unsur-unsur suatu definisi.

Menurut Soedjadi (2000) suatu definisi memuat unsur-unsur berikut.

(a)  Latar belakang

Latar belakang suatu definisi merupakan keterangan atau penjelasan yang memungkinkan berlakunya definisi tersebut.

(b) Genus

Genus suatu definisi merupakan golongan yang melingkupi konsep yang didefinisikan.

(c)  Lingkup

Lingkup atau istilah adalah konsep yang didefinisikan

(d) Atribut

Atribut merupakan ciri-ciri khusus yang dimiliki konsep yang didefinisikan.

            Perhatikan dua kalimat definisi di bawah ini.

·         Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama.

·         Suatu segitiga adalah samasisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama.

Definisi di atas dapat diperhatikan unsur-unsurnya yaitu

a)      Latar belakangnya adalah “bangun datar”.

b)      Genusnya adalah “segitiga”.

c)      Istilah yang didefinisikan “segitiga samasisi”

d)     Atributnya “ketiga sisinya sama”.

Untuk menentukan unsur suatu definisi akan lebih mudah bila kalimat definisinya seperti bentuk kedua, yaitu menggunakan kata “jika dan hanya jika”. Hal itu akan terasa bila akan menentukan atribut dari definisi itu.

1.4Intensi dan ekstensi suatu definisi

          Menurut Poespoprojo (1999, h.91) ekstensi ialah keseluruhan ha-hal yang atasnya suatu ide dapat diterapkan, atau lingkungan (suatu konsep) yang dapat ditunjuk dengan konsep tertentu. Jajargenjang dapat didefinisikan sebagai berikut.

1.      Jajargenjang ialah segiempat yang dua pasang sisi yang berhadapan sejajar.

2.      Jajargenjang ialah segiempat yang dua pasang sisi yang berhadapan sama panjang.

3.      Jajargenjang ialah segiempat yang sepasang sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang.

Ketiga definisi jajaegenjang di atas adalah sama. Menurut Soedjadi ketiga definisi itu mempunyai ekstensi (jangkauan) yang sama, dan dua atau lebih definisi yang memiliki ekstensi yang sama disebut definisi ekuivalen. Atribut yang digunakan definisi (1) memiliki dua pasang sisi yang sejajar. Atribut yag digunakan definisi (2) memiliki dua pasang sisi yang sama panjang dan atribut yang digunakan definisi (3) memiliki sepasang sisi yang sejajar dan sama panjang. Definisi tersebut mempunyai intensi (makna kata) yang berbeda.

Segitiga sama sisi dan segitiga samasudut dapat didefinisikan sebagai berikut.

1.      Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama.

2.      Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sudutnya sama.

3.      Segitiga samasudut adalah segitiga yang ketiga sudutnya sama.

4.      Segitiga samasudut adalah segitiga yang ketiga sisinya sama.

Definisi (1) dan (2) mendefinisikan hal yang sama, yaitu segitiga samasisi, tetapi atributnya berbeda, yang satu mengutamakan perhatian kepada “sisi” sedangkan yang lain mengutamakan perhatian kepada “sudut”. Demikian juga definisi (3) dan (4), tetapi hal yang didefinisikan adalah segitiga sama sudut.

Himpunan bangun segitiga yang didefinisikan oleh keempat definisi itu adalah sama. Ini dikatakan bahwa keempat definisi itu memiliki ekstensi sama. Perbedaannya adalah di depan telah dikatakan bahwa pengutamaan perhatian berbeda. Atribut yang satu dikatakan bahwa definisi (1) dan (2) memiliki intensi yang berbeda.

2. Pernyataan Bukan Pangkal

Di depan telah dikenalkan aksioma yang juga dapat disebut sebagai pernyataan pangkal. Pernyataan yang disepakati atau tidak memerlukan pembuktian. Sekarang akan dibicarakan pernyataan lain, yang dapat diturunkan dari aksioma ataupun teorema sebelumnya.Pada umumnya suatu teorema dapat dinyatakan sebagai suatu implikasi (Jika …… maka ……).

2.1 Teorema dan cara menemukannya.

         Di bagian terdahulu telah dikemukakan bahwa suatu teorema atau suatu sifat tertentu  tidak selalu didapat dengan pemikiran deduktif, tetapi juga mungkin ditemukan melalui pengalaman lapangan ataupun data empirik. Namun demikian akhirnya kebenarannya harus dapat dibuktikan dengan pola pikir deduktif dalam strukturnya.

Jadi, suatu teorema atau suatu sifat tertentu dapat saja diperoleh melalui langkah-langkah induktif, baru kemudian dibuktikan kebenarannya dengan cara deduktif. Sifat-sifat suatu barisan dapat saja “ditemukan” secara coba-coba, baru kemudian dapat dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan induksi matematika. Demikian juga beberapa sifat atau teorema dalam teori jaringan atau graph.

2.2 Teorema

              Telah dikemukakan bahwa pada umumnya suatu teorema berupa suatu implikasi. Namun ada juga yang berupa biimplikasi. Berbeda dengan definisi, kalimatnya selalu harus diartikan sebagai suatu biimplikasi. Dalam pembicaraan teorema, termasuk di dalamnya “lemma” dan “corrolary”. Lemma adalah suatu teorema (yang juga harus dibuktikan kebenarannya) yang dibutuhkan khusus untuk membuktikan suatu teorema tertentu. Korolari adalah suatu teorema yang muncul sebagai akibat dari teorema sebelumnya.

                 Jika suatu teorema dipandang sebagai suatu implikasi”Jika ….. maka …..”, dapatlah ditinjau unsur-unsurnya. Unsur-unsur suatu teorema adalah:

a.       Latar belakang

Latar belakang suatu teorema merupakan keterangan atau penjelasan yang memungkinkan teorema tersebut berlaku.

b.      Hipotesis/anteseden

Hipotesis biasanya terdapat di belakang kata “jika”. Hipotesis merupakan pernyataan yang menjadi landasan untuk dapat membuat simpulan yang berupa pernyataan lain.

c.       Konklusi/konsekuen.

Konklusi biasanya terdapat di belakang kata“maka”. Konklusi adalah pernyataan yang merupakan analisis atau hasil telaah dari hipotesis.

Perhatikan teorema di bawah ini.

(1) Sudut-sudut alas suatu segitiga samakaki sama besarnya

Pernyataan tersebut dapat diubah menjadi:

(2) Jika sebuah segitga samakaki maka sudut-sudut alasnya sama.

       Dengan bentuk pernyataan “Jika …. maka …..” ini lebih mudah menentukan unsur-unsur teorema tersebut, yaitu:

a.       Latar belakangnya adalah segitiga.

b.      Hipotesisnya adalah segitiga samakaki

c.       Konklusinya adalah sudut-sudut alasnya sama.

Dari contoh di atas jelas bahwa hipotesis suatu teorema adalah bagian yang dianggap diketahui, sedangkan konklusi suatu teorema adalah bagian yang akan dibuktikan kebenarannya.