Sejarah Matematika
1. Filsafat Matematika
Filsafat
matematika adalah segenap pemikiran reflektif
terhadap persoalan-persoalan mengenai segala halyang menyangkut landasan
matematika serta hubungan matematika dengan segalasegi dari kehidupan manusia.
Landasan itu mencakup berbagai konsep pamgkal,anggapan dasar, asa permulaan,
struktur teoritis, dan ukuran kebenaran.
Sampai sekarang para filsuf dan ahli matematika masih mencoba merumuskan
apasesungguhnya matematika itu. Banyak definisi matematika telah dikemukakan,namun
banyak pula sanggahannya.
Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang
mengkaji anggapan-anggapanfilsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika.
Tujuan dari filsafat matematikaadalah untuk memberikan rekaman sifat dan
metodologi matematika dan untukmemahami kedudukan matematika di dalam kehidupan
manusia. Sifat logis danterstruktur dari matematika itu sendiri membuat
pengkajian ini meluas dan unikdi antara mitra-mitra bahasan filsafat lainnya.
Tema-tema yang sering diperbincangkan di antaranya:
- Apakah
sumber pokok bahasan matematika?
- Apakah
status ontologis dari entitas-entitas matematika?
- Apakah
yang dimaksud dengan objek matematika?
- Apakah
sifat/karakter dari proposisi matematika?
- Apakah
kaitan antara logika dan matematika?
- Apakah
peran hermeneutika di dalam matematika?
- Jenis
penyelidikan apakah yang memainkan peran penting di dalam matematika?
- Apakah
tujuan dari penyelidikan matematika?
- Apakah
yang memberi pertautan antara matematika dan pengalaman?
- Sifat manusia
apakah yang berada di sebalik matematika?
- Apakah
yang dimaksud dengan keindahan matematika?
- Apakah
sumber dan sifat kebenaran matematika?
- Apakah
hubungan antara dunia matematika abstrak dan semesta materi?
- Apakah
matematika suatu bahasa yang mutlak dan universal?
Filsafatmatematika
mempunyai tujuan untuk menjelaskan dan menjawab tentang kedudukandan dasar dari
obyek dan metode matematika yaitu menjelaskan apakah secaraontologism obyek
matematika itu ada, dan menjelaskan secara epistemologisapakah semua pernyataan
matematika mempunyai tujuan dan menentukan suatukebenaran. Mengingat bahwa
hukum-hukum alam dan hukum-hukum matematikamempunyai kesamaan status, maka
obyek-obyek pada dunia nyata mungkin dapatmenjadi pondasi matematika. Tetapi
ini masih menjadi pertanyaan besar untukdijawab.
Walaupun beberapa pemikir pada filsafat moderndari
matematika menolak bagi keberadaan pondasi di dalam matematika, namunbebarapa
filsuf masih tetap menaruh perhatian kepada kegiatan kognisi manusiasebagai
basis bagi diletakkannya fondamen matematika. Mereka mencoba meletakkandasar
matematika pada kegiatan kognisi manusia, seperti yang dilakukan ImmanuelKant,
bukan pada obyek di luar matematika.
Filsuf
matematika yang dikenalkan di sini
adalah Pythagoras, Plato, Aristoteles, Leibniz, danKant. Doktrin Pythagoras
antara lain bahwa fenomena yang tampak berbeda dapatmemiliki representasi
matematis yang identik (cahaya, magnet, listrik – sebagaigetaran – dapat
memiliki persamaan diferensial yang sama). Aristotelesmenekankan, menemukan
‘dunia permanen’ merupakan realita daripada ‘apa yangtampak’. Aristoteles lebih
menekankan pada ‘absraksi’ daripada ‘apa yangtampak’. Leibniz dan Kant
menekankan pada proposisi matematis.
2. Sejarah
Matematika
Matematika
adalahalat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam
pemerintahan,industri, sains). Sejarah matematika adalah penyelidikan
terhadap asalmula penemuan di dalam matematika dansedikit perluasannya,
penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika dimasa silam. Dalam
perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangunperadaban manusia sepanjang
masa.
Metode
yangdigunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran
deduktif.Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat
kasus-kasus yangkhusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat
kebenaran barangkalibenar atau tidak perlu benar.
Sebelum
zaman modern danpenyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contoh-contoh
tertulis daripengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa
tempat.Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton322
(matematikaBabilonia sekitar 1900 SM), Lembaran Matematika Rhind
(MatematikaMesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran Matematika Moskwa
(matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan itu
membahas teorema yang umumdikenal sebagai teorema Pythagoras,yang tampaknya
menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luassetelah
aritmetika dasar dan geometri.
Sumbangan
matematikawanYunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui
pengenalanpenalaran deduktif dan kekakuan matematikadi dalam pembuktian
matematika) dan perluasan pokok bahasan matematika. Kata"matematika"
itu sendiri diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα(mathema), yang berarti
"mata pelajaran". MatematikaCina membuat sumbangan dini, termasuk
notasiposisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturanpenggunaan operasinya,
digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melaluikuliah pada milenium
pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat melalui
matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan
memperluas pengetahuanmatematika ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa
Yunani dan Arab tentangmatematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin,
yang mengarah padapengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan
Eropa.
Dari
zaman kuno melalui ZamanPertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali
diikuti oleh abad-abadkemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad
ke-16, pengembanganmatematika baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru,
dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang berlanjut hingga kini.
A. Secara Geografis
1. Mesopotamia
- Menentukan system bilangan pertama kali
- Menemukan system berat dan ukur
-
Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi
berbentukbaji
2. Babilonia
- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
- Penemu kalkulator pertama kali
- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
- Geometrinya bersifat aljabaris
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
- Sudah mengenal teorema Pythagoras
3. Mesir Kuno
- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
- Mengenal tripel Pythagoras
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10
4. Yunani Kuno
- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
- Hipassus penemu bilangan irrasional
- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang
isinyamerupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah
persamaan)
- Archimedes membuat geometri bidang datar
- Mengenal bilangan prima
5. India
- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema
Pythagoras,transformasidan segitiga pascal
6. China
- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system
biner,aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan
yaitupersamaan kuadrat, kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
B. Berdasarkan Tokoh
1. Thales (624-550 SM)
Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau
proposisi,dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh
Euclid. Landasan matematika sebagai ilmuterapan rupanya sudah diletakan oleh
Thales sebelum muncul Pythagoras yangmembuat bilangan.
2. Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan
aksioma-aksioma,postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam
mengembangkangeometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema
Pythagoras namundia berhasil membuat pembuktian matematis. 2 sebagai bilangan
irrasional.ÖPersaudaraanPythagoras menemukan
3. Socrates (427-347 SM)
Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta
ajaranserba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir
karenapergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama
yangmenerima paham adanya alam bukan benda.
4. Ecluides (325-265 SM)
Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan
dangeometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema
Pythagoras,persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori
proporsi danlain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan
jangka.
5. Archimedes (287-212 SM)
Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga
menemukanperhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli
matematikaterbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes
membahasgeometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari
parabola danspiral.
6. Appolonius (262-190 SM)
Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan
bagiastronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam
geometri.Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.
7. Diophantus (250-200 SM)
Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan
konsep-konsepaljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di
Iskandaria.Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama
tentangsystem aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus
berisipemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan
tingkatpertama.
3.
Hubungan antara Filsafat dan Sejarah Matematika
Matematika
dan filsafat memilikihubungan yang cukup erat, dibandingkan ilmu2 lainnya.
alasannya, filsafatmerupakan pangkal untuk mempelajari ilmu dan matematika
adalah ibu dari segalailmu. ada juga yang beranggapan bahwa filsafat dan
matematika adalah ibu darisegala ilmu yang ada. hubungan lainnya dari
matematika dan filsafat karenakedua hal ini adalah apriori dan tidak eksperimentalis.
hasil dari keduanyatidak memerlukan bukti secara fisik.
Di
Indonesia sendiri pengamalanfilsafat dalam ilmu, khususnya matematika, masih
sangat amat jarang, bahkantidak ada. terlebih lagi setelah menjamurnya pusat
bimbingan belajar yangmengajarkan rumus2 praktis tanpa menyodorkan dasar
pemahaman yang cukupmemadai. akhirnya ilmu hanya dipandang sebagai sesuatu yang
pragmatis.
Matematika
danfilsafat mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain sejak jaman
YunaniKuno. Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi bagi para
filsuf,metodenya juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan pemikiran filsafat.
Kitabahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus sebagai sorang
filsuf,misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer,
Hilbert,G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan
kajiansekaligus pondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik oleh
paramatematikawan maupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai
perananhingga sampai era filsafat kontemporer di mana banyak para filsuf
kemudianmempelajari logika. Logika matematika telah memberi inspirasi kepada
pemikiranfilsuf, kemudian para filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran
logikamisalnya “logika modal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh
paramatematikawan dan bermanfaat bagi pengembangan program komputer dan
analisisbahasa. Salah satu titik krusial yang menjadi masalah bersama oleh
matematikamaupun filsafat misalnya persoalan pondasi matematika.
Baik
matematikawanmaupun para filsuf bersama-sama berkepentingan untuk menelaah
apakah adapondasi matematika? Jika ada apakah pondasi itu bersifat tunggal atau
jamak?Jika bersifat tunggal maka apakah pondasi itu? Jika bersifat jamak
makabagaimana kita tahu bahwa satu atau beberapa diantaranya lebih utama atau
tidaklebih utama sebagai pondasi? Pada abad 20, Cantor diteruskan oleh Sir
BertrandRussell, mengembangkan teori himpunan dan teori tipe, dengan maksud
untukmenggunakannya sebagai pondasi matematika. Namun kajian filsafat
telahmendapatkan bahwa di sini terdapat paradoks atau inkonsistensi yang
kemudianmembangkitkan kembali motivasi matematikawan di dalam menemukan hakekat
darisistem matematika.
Dengan
teoriketidak-lengkapan, akhirnya Godel menyimpulkan bahwa suatu sistem matematikajika
dia lengkap maka pastilah tidak akan konsisten; tetapi jika dia konsistenmaka
dia patilah tidak akan lengkap. Hakekat dari kebenaran secara bersamadipelajari
secara intensif baik oleh filsafat maupun matematika. Kajian nilaikebenaran
secara intensif dipelajari oleh bidang epistemologi dan filsafatbahasa.
Paramatematikawan
dan para filsuf secara bersama-sama masih terlibat di dalamperdebatan mengenai
peran intuisi di dalam pemahaman matematika dan pemahamanilmu pada umumnya.
Banyak
filsuftelah menggunakan matematika untuk membangun teori pengetahuan dan
penalaranyang dihasilkan dengan memanfaatkan bukti-bukti matematika dianggap
telah dapatmenghasilkan suatu pencapaian yang memuaskan. Matematika telah
menjadi sumberinspirasi yang utama bagi para filsuf untuk mengembangkan
epistemologi danmetafisik.
Hannes
Leitgeb di(Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) di “Mathematical
Methods inPhilosophy” telah menyelidiki penggunaan matematika di filsafat.
Diamenyimpulkan bahwa metode matematika mempunyai kedudukan penting di
filsafat.Pada taraf tertentu matematika dan filsafat mempunyai
persoalan-persoalanbersama.
Hannes Leitgeb telah menyelidikiaspek-aspek dalam mana matematika dan filsafat
mempunyai derajat yang samaketika melakukan penelaahan yatitu kesamaan antara
obyek, sifat-sifat obyek,logika, sistem-sistem, makna kalimat, hukum
sebab-akibat, paradoks, teoripermainan dan teori kemungkinan. Para
filsufmenggunakan logika sebab-akibat untuk untuk mengetahui implikasi dari
konsepatau pemikirannya, bahkan untuk membuktikan kebenaran
ungkapan-ungkapannya.Joseph N. Manago (2006) di dalam bukunya “ Mathematical
Logic and thePhilosophy of God and Man” mendemonstrasikan filsafat menggunakan
metodematematika untuk membuktikan Lemma bahwa terdapat beberapa makhluk
hidupbersifat “eternal”. Makhluk hidup yang tetap hidup disebut bersifat
eternal.
4.
Periode Matematika
Ada
dua macam pembagian mengikuti waktu atauperiode perkembangan. Yang pertama,
pembagian waktu ke dalam tiga periode,yakni, “dahulu”, “pertengahan”, dan
“sekarang”. Pembagian ini berdasarkanpertumbuhan matematika sendiri dan daya
tahan hidup sesuai zamannya. Yangkedua, pembagian menurut cara konvensional
dalam tujuh skala waktu menurutpenemuan naskah yang dapat dihimpun, yakni (1)
Babilonia dan Mesir Kuno, (2)Kejayaan Yunani (600 SM – 300), (3) Masyarakat
Timur dekat (sebagian sebelumdan sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa
Renaissance, (5) Abad ke-17,(6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20.
Pembagian ini mengikuti perkembangankebudayaan Eropa.
Setiap
periode, baik yang membagimenjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang umum.
Pada periode “dahulu”, cirikhasnya adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman
(indera) hidup manusia.Periode “pertengahan” mulai dengan analisis (Descartes,
Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan padaperiode “sekarang” ciri khasnya adalah
metode abstraksi dan generalisasi.Ternyata perkembangan matematika dilihat dari
kualitas dan kekuatannya jauhlebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah
akan definisimatematika yang mengatakan “matematika adalah cara berpikir dan
bernalar”,lihat Modul 1. Sedang kekuatannya, misalnya, lihatlah geometri Euclid
dibandingdengan geometri non-euclid, yang terakhir ini mampu menyelesaikan
masalah lebihrumit (geometri non-euclid digunakan dalam mengembangkan teori
relativitasdalam ilmu fisika)
Perkembangan Matematika SesudahRenaissance
Masing-masing dari 7 periodeterdapat peningkatan kematangan yang signifikan,
namun juga terdapatketerbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih
bersifat empiris. Padaabad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya
geometri analitik,proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi
diperlukan agarpertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat digunakan
dalam ilmu lainnya.Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid) dan
menyingkirkan geometrieuclid (lama).
Dalam
periode terakhir, daerahjelajah matematika makin luas. Beberapa cabang menjadi
terlepas dari induknyadan menjadi otonom. Beberapa di antaranya diserap dalam
wadah yang lebih besar,misalnya analisis telah menggeneralisasi geometri.
Pelarian dan penangkapankembali ini mengilhami para matematikawan untuk
merangkum kembali seluruhmatematika. Awal abad ke-20 dipercayai unifikasi akan dicapai
melalui logikamatematis (Bertrand Russell). Ternyata harapan ini sia-sia dan
terlepas.
Matematika
dan filsafat mempunyai sejarah
keterikatan satu dengan yang lain sejak jaman YunaniKuno. Matematika di samping
merupakan sumber dan inspirasi bagi para filsuf,metodenya juga banyak diadopsi
untuk mendeskripsikan pemikiran filsafat. Kitabahkan mengenal beberapa
matematikawan yang sekaligus sebagai sorang filsuf,misalnya Descartes, Leibniz,
Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert,G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir
di mana logika yang merupakan kajian sekaliguspondasi matematika menjadi bahan
kajian penting baik oleh para matematikawanmaupun oleh para filsuf. Logika
matematika mempunyai peranan hingga sampai erafilsafat kontemporer di mana
banyak para filsuf kemudian mempelajari logika.Logika matematika telah memberi
inspirasi kepada pemikiran filsuf, kemudianpara filsuf juga berusaha
mengembangkan pemikiran logika misalnya “logikamodal”, yang kemudian
dikembangkan lagi oleh para matematikawan dan bermanfaatbagi pengembangan
program komputer dan analisis bahasa. Salah satu titikkrusial yang menjadi
masalah bersama oleh matematika maupun filsafat misalnyapersoalan pondasi
matematika.
