Teori Bilangan Pembuktian Keterbagian

Keterbagian

Teorema 1.1

Diberikan bilangan bulat a, b, c. Maka

(A.)         a I b,   b I c       Maka a I c

(B.)         a I b,   a I c        Maka a I bx + cy   Vx,y € B

(C.)         a, c  >  0,   a I c Maka a ≤ c

Buktikan :

(A.)         a I b maka  ADA k € B sehingga  b = ak

b I c maka  ADA s € B sehingga  c = bs

Kemudian kita Subsitusikan :

     c = bs

     c = (ak)s

Karena ADA ks € B sehingga  c = a(ks)

MAKA   a I c    (TERBUKTI)

(B.)         a I b maka ADA k € B sehingga  b = ak

a I c maka ADA s € B sehingga  c = as

Kemudian kita Subsitusikan :

bx + cy =  (ak)x + (as)y

bx + cy = a kx  +  a sy

bx + cy = a (kx + sy)

         

               Karena ADA (kx+sy) € B sehingga  bx + cy = a (kx + sy)

               MAKA   a I bx + cy     (TERBUKTI)

               Contoh : 3 I 6,   3 I 2    Maka   3 I 18

                    18 didapat dari bx + cy = 6(1) + 12(1) = 18

                             (Misal x dan y adalah 1 (terserah berapa saja))

(C.)         a I c  maka  ADA k € B sehingga  c = ak

a, c  >  0,    k  > 0

c = ka

c = a + a + a + … + a

          °(a) = k

               Buktikan  (a ≤ c) ……………………..( a > c  harus salah )

                  

             Andaikan   a > c

                   c = a + a +a + … + a

                c-c = a + a +a + … + a + a – c

                    0 = a + a +a + … + a + (a - c)

                                      °(a) = k – 1

                   0 = a + a +a + … + a + (a – c)  >  0

                  

          Karena 0 > 0,    a > c   (tidak mungkin)

          JADI ,  a ≤ c     (TERBUKTI)