Minggu, 26 Februari 2017

Analisa Vektor






















Pendahuluan









High
Pressure



          Deret fourier ditemukan oleh ilmuan prancis.
Jean Baptiste Jonseph Fourier (1768-1830) yang menyatakan bahwa semua bentuk fungsi/sinyal periodik dapat direpresentasikan ke dalam Deret
Fourier yang merupakan deret
Sinusoidal (sinus dan cosinus).
Perhatikan gambar sinyal berikut :


 






Low
Presuure





                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       


                                                                                                                                               


          Gelombang = Getaran = Sinyal = Fungsi (model matematikanya mengakibatkan tekanan molekul udara disuatu
daerah menjadi tinggi  dan daerah lain tinggi. Jika tekanan
diukur sebagai fungsi dari t, maka
akan diperoleh fungsi periodik f
(t).


Catatan :


1.     
Jika bentuk suatu sinyal/fungsi tertentu
akan berulang dengan bentuk yang sama dalam setiap
periode, maka sinyal tersebut dikatakan sebagai Sinyal Periodik.


2.     
Gelombang suara merupakan
gelombang sinus murni dengan frekwensi tertentu.


3.     
Frekwensi resultan gelombang
suara merupakan sejumlah nada dengan frekwensi 2, 3, 4, ... kali frekwensi
dasar.


4.     
Frekwensi lebih tinggi berarti periode lebih pendek.


5.     
Jika sin wt dan cos wt = frekwensi dasar, maka sin(nwt) dan cos(nwt)
= nada harmonik yang lebih tinggi.


6.     
Kombinasi antara frekwensi
dasar dan harmoniknya membentuk fungsi periodik dengan periode dasar.


7.     
Setiap sinyal periodik
dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari sinyal-sinyal harmonik.


8.     
Penjumlahan sinyal-sinyal harmonik
dari suatu sinyal periodik dinyatakan dalam Deret Fourier.


 


 


Fungsi/
Sinyal Periodik


          Fungsi f(x) dikatakan
punya periodik T atau f(x)
periodik dengan periode T, jika untuk setiap
x  berlaku :


F (x +T) = f(x)


          T =  konstanta positif (T > 0),  nilai terkecil T  dinamakan periode terkecil atau disingkat f(x).
Grafik suatu sinyal/fungsi dengan
periode T didapat dengan menggabarkan grafik fungsi dasarnya secara berulang seperti gambar berikut.






     f(x)

 

                                                                                                                             x

                                            

                                           
T                      















 


 


 


 


 





f(x) = x, -2 < x < 2


periode 4





                                           f(x)

    -6                             -2                            2                          6 

                                          T
= 4                     

 








 


 


 


 


 





1.     
Periode  dari
f(x)
=
cos x
adalah








                     f(x)

                       1    

    -2π      - π                  π        2 π

                        -1       T = 2 π












 


 


 





2.     




                 f(x)

                   1    

-2π         - π            π           2 π

                  -1       T = 2 π



Periode  dari
f(x)
=
sin x
adalah











 


 


 


 


 


 





3.     






f(x)











Periode  dari
f(x)
=
tg x
adalah π






              -π/2                             π/2                  π        3 π/2              2 π







T = π

















x




 


 


 





          Andaikan f(x)
adalah sebuah fungsi periodik dengan periode  T
yang terdefinisikan dalam selang dasar ɑ < x < ɑ + T,
yakni f(x) = f(x +T), maka fungsi f(x) dapat
diuraikan dalam deret


fourier sebagai berikut
:























Dengan
koefisien- koefisien
ɑ0, ɑn, dan bn yang disebut
sebagai koefisien-koefisien
fourier, ditentukan oleh fungsi f(x) melalui
hubungan sebagai berikut :


 











Dengan T = periode dan
L = 


 periode.


Contoh :


Diketahui fungsi f(x) sebagai
berikut :





Periodik dengan periode
2, sehingga
f(x ± 2) = f(x), uraikan fungsi
tersebut dalam deret fourier !


Penyelesaian :


P eriode T = 2, sehingga
L = 


, interval dasarnya 0 ≤ x ≤ 2, jadi ɑ = 0.
Ekspansi f(x) dalam
daerah kiri dan kanan sumbu
x dapat dilihat dari
gambar berikut :






f(x)


Koefisien-koefisien fourier dicari sebagai berikut :


 





 



 


 






 



 


 





-6       -5         -4         -3         -2         -1          0          1          2           3          4           5          6

 


 


 




















 























 


























Dengan demikian
deret fourier untuk fungsi f(x) adalah
:




dalam hal ini








 


Syarat Dirichletbuah


          Persyaratan sebuah
fungsi f(x) agar dapat
dinyatakan dalam deret fourier ditentukan
oleh syarat dirichlet sebagai berikut :


Jika (a) f(x) periodik dengan
periode T


(b) bernilai tunggal
serta kontinu bagian demi bagian dalam interval dasarnya :


 a ≤ x ≤  a  + T , dan


(c)


 nilainya berhingga,


Maka deret fourier
di ruas kanan konvergen ke nilai
:


§  f(x) di semua
titik kekontinuan f(x)
dan


§        


 disetiap titik ketakkontinuan x0
(pada daerah lompatan)


Contoh :


Pada contoh sebelunya
(perhatikan gambar), tentukanlah konvergen ke nilai berapa
deret fourier tersebut di titik-titik kekontinuan


  dan di titik titik kekontinuan
x
= 0 , 1 , 2 , -3.








f(x)






 



 


 




 



 


 





-6       -5         -4         -3         -2         -1          0          1          2           3          4           5          6

 


Penyelesaian :


Menurut syarat dirichlet,
maka :


§  Di titik-titik kekontinuan
:




 konvergen ke 1         

  konvergen ke 1




  konvergen ke 0        

  konvergen ke 0


§  Di titik-titik kekontinuan
:


x = 0        konvergen
ke



x = 1        konvergen
ke



x = 2        konvergen
ke



x
=
-3       konvergen ke